魔の7段階段

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棒人間君が図のような魔の7段階段の5段目にいます。
棒人間君は毎回コインを投げて、表が出れば上に一段登り、裏が出れば下に一段下がります。7段目にたどり着けばクリア、生きて帰れます。逆に1段目まで降りてしまったらゲームオーバー、死にます。さて、この棒人間君が生還できる確率は？　もちろんコインの裏表は1/2の確率で等しく出るものとし、階段の途中でやめることはできないものとします。

こんな感じで解くのはどうでしょう。
情緒的な展開無しで、シンプルな連立方程式を解くだけにもっていくことができます。

nを、１〜７の数値とする。
P(n) を n段目に居るときの生存確率とする。

すると、以下がいえる

P(1) = 0
P(7) = 1

1 < n < 7 のとき、 P(n) = 1/2 x P(n+1) + 1/2 x P(n-1)

これをふまえてP(5)について考えてみる

P(5) 
 = 1/2 x P(6) + 1/2 x P(4)
 = 1/4 x P(7) + 1/2 x P(5) + 1/4 x P(3) 
 = 1/4 + 1/2 x P(5) + 1/4 x P(3)

次に P(3)について考えてみる

P(3) 
 = 1/2 x P(4) + 1/2 x P(2)
 = 1/4 x P(5) + 1/2 x P(3) + 1/4 x P(1) 
 = 1/4 x P(5) + 1/2 x P(3) 


よって以下のようなP(5)とP(3)の関係式が成立する。

(i) 2 x P(5) = P(3) + 1
(ii) 2 x P(3) = P(5)

(i)  (ii) より、 P(5) = 2/3